Ejercicio propuesto de plasticidad uniaxial

Nivel: Avanzado (cursos superiores de ingeniería)

Para la clase de mañana de Diseño Mecánico (Ingeniería Materiales URJC, Móstoles) hemos ideado el siguiente problema de plasticidad que proponemos también a todos aquellos seguidores de nuestro blog:

Un tubo de pared delgada se encuentra sometido a una fuerza de tracción F en sus extremos.

Se pide:
a) Encuentre, mediante la regla de flujo de Prandl-Reuss, la relación entre las deformaciones plásticas (\(\varepsilon_r\), \(\varepsilon_\theta\) y \(\varepsilon_z\)).
a) La fuerza necesaria para llegar a una deformación que sea la mitad de la que produce la inestabilidad plástica.
b) La variación dimensional del radio y de la longitud del tubo para la fuerza del apartado anterior.

Datos: El material sigue una ley de Hollomon \(\sigma = K \varepsilon^n\). Las dimensiones iniciales del tubo son radio \(R_0\), longitud \(L_0\) y espesor \(t_0\). Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas.

Solución: a) -\(\varepsilon_r\) =  -\(\varepsilon_\theta\) =  \( \displaystyle \frac{ \varepsilon_z}{2}\); b) \(F \,=\, 2\pi R_0 t_0 K \cdot \left( \frac{n}{2}\right)^n \cdot exp\left(-\frac{n}{2}\right)\) ;c)  \(R – R_0 = R_0 \left[ exp \left(-\frac{n}{4}\right) – 1\right]\), \(L – L_0 = L_0 \left[ exp \left(\frac{n}{2}\right) – 1\right]\)


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Centros de gravedad y momentos de inercia… Líos semánticos

Una de las dificultades con que se encuentran nuestros alumnos de Mecánica es la variedad de conceptos asociados al término centro de gravedad y al de momentos de inercia. En general, en los cursos de Mecánica y Estructuras los alumnos manejan los conceptos de centro de gravedad, centroide, momento de inercia, momento de segundo orden de área y momento de primer orden de área.

Tira cómica sobre la nomenclatura de los momentos de inercia
El lío semántico de las inercias
  • Centros de gravedad y centroides:
    El término centro de gravedad debería reservarse para cuando se trate de un cuerpo pesado. Su formulación sería:
    $$x_G = \frac{\int{x \,dW}}{\int{dW}}$$
    donde W es el peso, por lo que es posible ponerlo en función de la gravedad:
    $$x_G = \frac{\int_M{x\, g \,dm}}{\int{g \,dm}}$$

El término centro de masas debería reservarse para cuando se trate de masas, algo muy usual en Dinámica. Su formulación sería:

$$x_G = \frac{\int_M{x \,dm}}{\int_M{dm}}$$

Finalmente, el centroide, debería reservarse únicamente para áreas y volúmenes, es decir, es un centro geométrico:

$$x_G = \frac{\int_V{x \,dV}}{\int_V{dV}}$$

$$x_G = \frac{\int_A{x \,dA}}{\int_A{dA}}$$

Obviamente, el centro de masas y el centroide coincidirán cuando la densidad sea uniforme a lo largo del cuerpo:

$$x_G \,(c.d.m) \,= \,\frac{\int_M{x \,dm}}{\int_M{dm}}\,= \,x_G = \frac{\int_V{x \rho\,dV}}{\int_V{\rho\,dV}}\, =\, \frac{\int_V{x \,dV}}{\int_V{dV}} =\,x_G \,(c. v.)$$

  • Momentos de inercia de masas y áreas:

El término momento de inercia debería reservarse exclusivamente para los momentos de inercia de masas que aparecen frecuentemente en los problemas de Dinámica. Por ejemplo, el momento de inercia respecto al eje X cartesiano sería:

$$I_x = \int{y^2 dm}$$

El momento de inercia de área, debería llamarse momento de segundo orden de área y su formulación sería:

$$I_x = \int{y^2 dA}$$

Como vemos, demasiados nombres para los alumnos que comienzan en el estudio de la Mecánica.


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Von Mises y el segundo invariante del tensor desviador

En nuestras clases de Diseño Mecánico nos centramos en la práctica de ejercicios. Yo soy muy teórico pero también sé que la teoría aburre a mis alumnos por lo que trato de incluir la mínima necesaria en mis clases.

Por ejemplo, el criterio de Von Mises se suele utilizar sin más en nuestras clases como:

$$\bar{\sigma} = \sigma_Y$$

Es decir, la plastificación se produce cuando la tensión equivalente de Von Mises es igual al límite elástico.

Sin embargo, a mí me gusta, dado que se tarda muy poco, arrancar la explicación del criterio a partir del segundo invariante del tensor desviador, \(J’_2\). En esta definición más primitiva que la anterior, la plastificación ocurre cuando dicho invariante es igual a un valor crítico \(K^2\) (el cuadrado está ahí por comodidad en la solución):

$$J’_2 = K^2$$

En este punto, nos vamos al ensayo de tracción simple, que en estos casos siempre tenemos a mano, y para el que:

$$J’_2 = \frac{1}{2} \sigma’_{ij} \sigma’_{ij} = \frac{1}{2} \sigma_I^2$$

donde el tensor \(\sigma’_{ij}\), como sabrán los alumnos de esta asignatura, es el tensor desviador, de componentes:

$$\sigma’_{ij} = \left(
\begin{array}{c c c}
\frac{2}{3} \sigma_I& 0 & 0\\
0 &-\frac{1}{3} \sigma_I& 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{3}\sigma_I
\end{array}
\right)
$$

Donde /(\sigma_I\) es la tensión principal mayor (las otras son nulas).

Como buscamos el momento de la plastificación \(\sigma_I = \sigma_Y\):

$$J’_2 = \frac{1}{3} \sigma_Y^2$$

$$ \frac{1}{3} \sigma_Y^2 = K^2$$

$$ K = \frac{\sigma_Y}{\sqrt {3}} $$

Y dado que la tensión equivalente se puede escribir como:

$$ \bar{\sigma}= \sqrt{3 J’_2}$$

queda despejando

$$J’_2 = \frac{1}{3} \bar{\sigma}^2$$

$$ \frac{1}{3} \bar{\sigma}^2 = \frac{1}{3} \sigma_Y^2$$

Finalmente, obtenemos:

$$\boxed{\bar{\sigma} =  \sigma_Y}$$


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