Ejercicio propuesto de plasticidad uniaxial

Nivel: Avanzado (cursos superiores de ingeniería)

Para la clase de mañana de Diseño Mecánico (Ingeniería Materiales URJC, Móstoles) hemos ideado el siguiente problema de plasticidad que proponemos también a todos aquellos seguidores de nuestro blog:

Un tubo de pared delgada se encuentra sometido a una fuerza de tracción F en sus extremos.

Se pide:
a) Encuentre, mediante la regla de flujo de Prandl-Reuss, la relación entre las deformaciones plásticas (\(\varepsilon_r\), \(\varepsilon_\theta\) y \(\varepsilon_z\)).
a) La fuerza necesaria para llegar a una deformación que sea la mitad de la que produce la inestabilidad plástica.
b) La variación dimensional del radio y de la longitud del tubo para la fuerza del apartado anterior.

Datos: El material sigue una ley de Hollomon \(\sigma = K \varepsilon^n\). Las dimensiones iniciales del tubo son radio \(R_0\), longitud \(L_0\) y espesor \(t_0\). Desprecie las deformaciones elásticas frente a las plásticas.

Solución: a) -\(\varepsilon_r\) =  -\(\varepsilon_\theta\) =  \( \displaystyle \frac{ \varepsilon_z}{2}\); b) \(F \,=\, 2\pi R_0 t_0 K \cdot \left( \frac{n}{2}\right)^n \cdot exp\left(-\frac{n}{2}\right)\) ;c)  \(R – R_0 = R_0 \left[ exp \left(-\frac{n}{4}\right) – 1\right]\), \(L – L_0 = L_0 \left[ exp \left(\frac{n}{2}\right) – 1\right]\)


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Centros de gravedad y momentos de inercia… Líos semánticos

Una de las dificultades con que se encuentran nuestros alumnos de Mecánica es la variedad de conceptos asociados al término centro de gravedad y al de momentos de inercia. En general, en los cursos de Mecánica y Estructuras los alumnos manejan los conceptos de centro de gravedad, centroide, momento de inercia, momento de segundo orden de área y momento de primer orden de área.

Tira cómica sobre la nomenclatura de los momentos de inercia
El lío semántico de las inercias
  • Centros de gravedad y centroides:
    El término centro de gravedad debería reservarse para cuando se trate de un cuerpo pesado. Su formulación sería:
    $$x_G = \frac{\int{x \,dW}}{\int{dW}}$$
    donde W es el peso, por lo que es posible ponerlo en función de la gravedad:
    $$x_G = \frac{\int_M{x\, g \,dm}}{\int{g \,dm}}$$

El término centro de masas debería reservarse para cuando se trate de masas, algo muy usual en Dinámica. Su formulación sería:

$$x_G = \frac{\int_M{x \,dm}}{\int_M{dm}}$$

Finalmente, el centroide, debería reservarse únicamente para áreas y volúmenes, es decir, es un centro geométrico:

$$x_G = \frac{\int_V{x \,dV}}{\int_V{dV}}$$

$$x_G = \frac{\int_A{x \,dA}}{\int_A{dA}}$$

Obviamente, el centro de masas y el centroide coincidirán cuando la densidad sea uniforme a lo largo del cuerpo:

$$x_G \,(c.d.m) \,= \,\frac{\int_M{x \,dm}}{\int_M{dm}}\,= \,x_G = \frac{\int_V{x \rho\,dV}}{\int_V{\rho\,dV}}\, =\, \frac{\int_V{x \,dV}}{\int_V{dV}} =\,x_G \,(c. v.)$$

  • Momentos de inercia de masas y áreas:

El término momento de inercia debería reservarse exclusivamente para los momentos de inercia de masas que aparecen frecuentemente en los problemas de Dinámica. Por ejemplo, el momento de inercia respecto al eje X cartesiano de un cuerpo sería:

$$I_x = \int_M{(y^2+z^2) dm}$$

Por el contrario, lo que habitualmente llamamos momento de inercia en estructuras cuando definimos una sección debería llamarse momento de segundo orden de área. En este caso no se estudia el cuerpo sino una sección plana y su formulación para una sección contenida en el plano XY sería del tipo:

$$I_x = \int_A{y^2 dA}$$

A estos comentarios habría que añadir algo sobre los momentos estáticos, que también se podrían llamar momentos de primer orden de áreas, pero por lo pronto lo dejamos aquí. Como vemos, demasiados nombres para los alumnos que comienzan en el estudio de la Mecánica.


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